Na A?o sA? nA?m dobrA� logaritmy na akciovA?ch trhoch

O A?om asi

O logaritmoch iste uA? mnohA� z vA?s poA?uli. NiektorA� iba poA?uli, niektorA� s nimi uA? nieA?o poA?A�tali a nejakA� to mizivA� percento z nA?s vrA?tane mA?a ich dokonca aj pouA?A�va. RovnakA? vetu by som mohol napA�saA? aj o akciA?ch. Teraz nemyslA�m tie, ktorA� svietia v Bille kaA?dA? utorok, ale tie, ktorA� sa obchodujA? na burzA?ch po celom svete. A?o sA? akcie a ako fungujA? si vysvetlA�me niekedy nabudA?ce. Pre dneA?ok nA?m bohate postaA?A� ak vieme, A?e akcie si mA?A?eme kA?piA?, majA? nejakA? cenu a tA?to cena sa v A?ase menA�. ViacerA� z vA?s isto uA? poA?uli o tom ako akcie dokA?A?u veA?a zarobiA? a moA?no uA? aj o tom ako v roku 2008 veA?a prerobili. To ako sa nejakej konkrA�tnej akcii darilo sa vieme veA?mi A?ahko dozvedieA? z grafu vA?voja jej ceny.

Prepad akciovA�ho indexu S&P 500

Na obrA?zku dole je graf vA?voja ceny azda najznA?mejA?ieho akciovA�ho indexu na svete, americkA�ho S&P 500 1 od roku 1928 do roku 1996.

vA?voj ceny akciovA�ho indexu S&P 500 od roku 1928 do roku 1997

vA?voj ceny akciovA�ho indexu S&P 500 od roku 1928 do roku 1997

VyobrazenA? je vA?voj poA?as naozaj dlhA�ho obdobia takmer 70 rokov. ObrA?zok pripomA�na exponenciA?lny rast (teda rast, ktorA? je o to silnejA?A� o A?o dlhA?ie trvA?). SkutoA?ne, za toto obdobie index zarobil kumulatA�vne 4094% A?o uA? vA?ak na roA?nej bA?ze nie je aA? tak astronomickA?ch 5.6% p.a. SkA?ste sa teraz znova pozrieA? na graf hore a tipnA?A? si kedy podA?a vA?s index zaznamenal svoj najvA�A?A?A� prepad.

Prepad indexu S&P 500 v z noci na pondelkovA� rA?no 19.10.1987

Prepad indexu S&P 500 v z noci na pondelkovA� rA?no 19.10.1987

A?ierny pondelok… alebo aj nie?

PrirodzenA?m tipom mnohA?ch, ktorA? nemajA? v hlave histA?riu finanA?nA?ch trhov, je silnA? a nA?hly prepad pribliA?ne v 3/4 grafu znA?zornenA? vyA?A?ie. Ide o tzv. A?ierny pondelok, o ktorom iste mnohA� z vA?s poA?uli a svoje miesto si naA?iel napr. aj v nedA?vnom The Wolf of Wall street. Index S&P 500 sa z noci na pondelkovA� rA?no 19.10.1987 prepadol o vyA?e 20%2. CelkovA? pokles (keA?A?e index klesal uA? aj niekoA?ko tA?A?dA?ov predtA?m) A?inil -33.24%.

Pokles indexu S&P 500 od 25.8.1987 po 19.10.1987

Pokles indexu S&P 500 od 25.8.1987 po 19.10.1987

PrezradA�m uA? teraz, A?e tento tip na najvA�A?A?A� prepad nie je sprA?vny. ProblA�mom doteraz uvedenA?ch grafov je, A?e najvA�A?A?A� prepad na nich jednoducho nevidA�me. PretoA?e vyobrazenA� obdobie je prA�liA? dlhA�. No a na to aby sme vedeli sprA?vne posA?diA? kde nastal najvA�A?A?A� prepad nA?m poslA?A?ia prA?ve logaritmy.

Logaritmy

mathtee-logarithmMojA�m cieA?om v tomto A?lA?nku nie je do hA?bky vA?m objasniA? problematiku logaritmov. VystaA?A�me si len s A?plnA?m zA?kladom a uvidA�me, A?e uA? aj ten nA?m viem pomA?cA? na akciovA?ch trhoch. Na slovenskej wikipA�dii sa hneA? v prvej vete doA?A�tame, A?e logaritmus alebo logaritmickA? funkcia je inverznou funkciou k exponenciA?lnej funkcii . TA?to krkolomnA? veta je kA?A?A?om k rozlA?sknutiu vyA?A?ie uvedenA�ho grafu akciovA�ho indexu S&P 500 a hA?adania jeho najvA�A?A?A�ch poklesov. KeA?A?e na danom grafe zaznamenal akciovA? index exponenciA?lny rast, pouA?ijeme na neho prA?ve logaritmus, ktorA? nA?m ako inverznA? funkcia k exponenciA?lnej priblA�A?i graf „reA?lnejA?A�mi“ oA?ami.

    \[\log_a x\]

Logaritmus A?A�sla x so zA?kladom a je A?A�slo, na ktorA� musA�me umocniA? a, aby sme dostali x. Teda

\log_{10} 100 = 2,A�A�A�A�A� lebo 10^2 = 100
\log_2 2 = 1, A� A�A� lebo 2^1 = 2
\log_5 1 = 0,A�A�A�A�A� lebo 5^0 = 1

NajpouA?A�vanejA?ie typy logaritmov dostali svoje menA?, konkrA�tne logaritmus so zA?kladom 10 je dekadickA? logaritmus a zvyA?ajne sa pri A?om zA?klad 10 ani neznaA?A�, pouA?ije sa len \log x. Logaritmus so zA?kladom tvoriacim Eulerovo A?A�slo e je tzv. prirodzenA? logaritmus a znaA?A�me ho miesto „log“ ako „ln“.

\ln (e \cdot e) = 2, A� A� lebo e^2 = e \cdot e, A� A� kde e \approx 2.71828

Logaritmy majA? veA?a uA?itoA?nA?ch vlastnostA�, mimo inA�ho aj tA?, ktorA? som uA? spomA�nal, A?e potrebujeme – vedia sa vysporiadaA? s exponenciA?lnym rastom. A?o to presne znamenA?? A preA?o je exponenciA?lny rast problA�m? UkA?A?me si to na prA�klade.

ExponenciA?lny rast

5
Tento ilustratA�vny graf znA?zorA?uje exponenciA?lny rast aj najvA�A?A?A� problA�m sA?visiaci s jeho vyobrazovanA�m. S kaA?dou narastajA?cou jednotkou na osi x narastie hodnota grafu na osi y o 10%. NA?rast 10% z A?rovne 10 nA?s dostane na hodnotu 11. NA?rast 10% z A?rovne 1000 nA?s zas dostane na hodnotu 1100 – proti tomuto by zrejme nikto neprotestoval. Je to vA?ak trochu problA�m, lebo hoci aj z A?rovne 10, aj z A?rovne 1000 bol nA?rast (alebo napr. zisk) v percentA?ch takA? istA?, t.j. 10%, tak ten neskorA?A� nA?rast z vyA?A?ej A?rovne je na grafe oveA?a viac vidno. Na grafe exponenciA?lneho rastu vyzerA? 10%-nA? nA?rast z A?rovne 1000 ako vA?razne vyA?A?A� ako 10%-nA? nA?rast z A?rovne 10, pritom percentuA?lne sA? totoA?nA�.

6
Pri dlhodobA?ch (vA�A?A?inou viac ako 3-5 rokov) grafoch akciovA?ch alebo inA?ch finanA?nA?ch trhov je tA?to vlastnosA? problA�m. SkrA?va totiA? to, A?o sa vlastne dialo v A?vodnA?ch, skorA?A�ch obdobiach.A�KeA?A?e index zaznamenal exponenciA?lny rast, z grafu vA?bec nevidA�me, koA?ko percent zarobil alebo stratil v prvej polovici vyobrazenA�ho obdobia. TakA?to graf je teda dosA? klamnA?, keA?A?e na A?om dobre vidA�me iba nedA?vne, A?erstvA� obdobia (nA?rast 20%).

Logaritmy vs exponenciA?lny rast

Pozrime sa na dekadickA? logaritmus z lineA?rne rastA?cich A?A�sel.

\log_{10} 100 = 2
\log_{10} 200 = 2.3
\log_{10} 300 = 2.48
\log_{10} 400 = 2.6
\log_{10} 500 = 2.7

Vidno, A?e hoci zvyA?ujeme logaritmovanA� A?A�slo stA?le o 100, vA?sledok narastA? najskA?r o 0.3, potom o 0.18, potom o 0.12 a na koniec iba o 0.1. NA?rast o rovnakA? jednotku (napr. 100) z vyA?A?ej hodnoty na osi x (napr. 400) sa pretavA� v menA?A� nA?rast hodnoty na osi y (0.1), v porovnanA� s nA?rastom o 100 z niA?A?ej A?rovne na osi x (napr. zo 100 je to 0.3).

7
To istA� platA� samozrejme pre akA?koA?vek logaritmus, aj prirodzenA?. RovnakA? absolA?tny nA?rast (o 100) na osi x spA?sobA� stA?le menA?A� nA?rast na osi y. VidA�me teda, A?e nA?rasty na zaA?iatku (skA?r) vidno oveA?a lepA?ie ako nA?rasty na konci (neskA?r). To je presne opaA?nA? vlastnosA? ako v prA�pade exponenciA?lneho rastu. A priamo sA?visA� s tA?m, A?e logaritmus je inverznA? funkcia exponenciA?lnej.

A�Percento na zaA?iatku vidno rovnako ako percento na konci

A?o je ale pre tento A?lA?nok najdA?leA?itejA?ie, logaritmy umoA?A?ujA? vyobraziA? percentuA?lny rast na zaA?iatku obdobia (t.j. pre malA� absolA?tne hodnoty) A?plne rovnako ako percentuA?lny rast na konci obdobia (pre vysokA� absolA?tne hodnoty). Videli sme, A?e v prA�pade exponenciA?lneho rastu a jeho grafickA�ho vyobrazenia vidno oveA?a viac 10%-nA? nA?rast (ale aj pokles) na konci ako 10%-nA? nA?rast (ale aj pokles) na zaA?iatku. V prA�pade logaritmov vidno tieto nA?rasty A?plne rovnako.

Na konkrA�tnom A?A�selnom prA�klade:

50% nA?rast z 10 = 15, t.j. zvA?A?enie o 5
50% nA?rast z 2000 = 3000, t.j. zvA?A?enie o 1000

\ln 10 = 2.303,A�A� aA� \ln 15 = 2.708,A�A� t.j. zvA?A?enie o 0.405
\ln 2000 = 7.601,A�A� aA� \ln 3000 = 8.006,A�A� t.j. zvA?A?enie o 0.405

MatematickA� vysvetlenie

Nech p je nA?A? percentuA?lny nA?rast vyjadrenA? ako nA?sobok pA?vodnA�ho A?A�sla (v hornom prA�klade 50% nA?rast, t.j. A� p=1.5), nech x je A?A�slo, z ktorA�ho tento percentuA?lny nA?rast poA?A�tame (v hornom prA�klade 10) a nech n je nA?sobok tohto A?A�sla, ktorA?m keA? pA?vodnA� A?A�slo vynA?sobA�me, dostaneme novA� A?A�slo, z ktorA�ho chceme znova spoA?A�taA? ten istA? percentuA?lny nA?rast (v hornom prA�klade chceme poA?A�taA? percentuA?lny nA?rast z 2000, a 10 * 200 je 2000, takA?e n = 200).

ProblA�m v prA�pade klasickA�ho neupravenA�ho grafu je, A?e pre n \gg 1

(1)   \begin{equation*}(p \cdot x - x)\text{A� } \ll \text{A� }(p \cdot n \cdot x - n \cdot x)\end{equation*}

T.j. A?udskou reA?ou, rovnakA� percento nA?rastu pri vyA?A?A�ch hodnotA?ch vidno oveA?a viac ako rovnakA� percento nA?rastu pri niA?A?A�ch hodnotA?ch.A� Ak ale aplikujeme na jednotlivA� hodnoty logaritmus, napr. prirodzenA?, tak tento problA�m opadA?:

(2)   \begin{equation*}\ln (p \cdot x) - \ln x \text{A� }=\text{A� } \ln (p \cdot n \cdot x) - \ln (n \cdot x)\end{equation*}

PreA?o platA� uvedenA? rovnosA?? VyuA?ili sme pri nej nasledovnA? vlastnosA? logaritmov:

    \[\ln\frac{A}{B} = \ln A - \ln B\text{, A�A� preA� }A, B > 0\]

Pre A?avA? stranu vyA?A?ie uvedenej rovnice (2) teda platA�

    \[\ln (p \cdot x) - \ln x = \ln(\frac{p \cdot x}{x}) = \ln p\]

A pre pravA? stranu (2) platA�

    \[\ln (p \cdot n \cdot x) - \ln (n \cdot x) = \ln(\frac{p \cdot n \cdot x}{n \cdot x}) = \ln p\]

Teda opA�A? A?udskou reA?ou, na grafe rovnakA� percento nA?rastu pri vyA?A?A�ch hodnotA?ch vidno tak isto ako rovnakA� percento nA?rastu pri niA?A?A�ch hodnotA?ch.

RieA?enie problA�mu nA?jdenia najvA�A?A?ieho akciovA�ho poklesu

SpA�A? teraz koneA?ne k nA?A?mu pA?vodnA�mu problA�mu hA?adania najvA�A?A?ieho poklesu akciovA�ho indexu S&P 500 v obdobA� od roku 1928 do roku 1996. MA?j (nA?A?) A?vodnA? tip je pripomenutA? na grafe dole.

Pokles indexu S&P 500 od 25.8.1987 po 19.10.1987

Pokles indexu S&P 500 od 25.8.1987 po 19.10.1987

Graf je vA?ak veA?mi dlhA? a vyobrazuje exponenciA?lny rast. Je teda veA?mi pravdepodobnA�, A?e nA?rasty (ale aj poklesy) na konci grafu vidA�me oveA?a vA?raznejA?ie ako nA?rasty (poklesy) na zaA?iatku grafu. Aplikujme teraz na jednotlivA� hodnoty grafu na y osi logaritmus. VA?slednA? graf je uvedenA? niA?A?ie.

8

vA?voj ceny akciovA�ho indexu S&P 500 od roku 1928 do roku 1997 s pouA?itA�m logaritmickej A?kA?ly

Tento novA? (a sprA?vny) pohA?ad na graf odkryl veA?a informA?ciA�, ktorA� na klasickom grafe vidno neboli. A to najmA� v jeho prvej polovici. ObrovskA?, vyA?e 10 rokov trvajA?ci prepad z rokov 1929-1942 nie je niA? inA� ako VeA?kA? hospodA?rska krA�za. Popri nej sa prepad trhov z A?ierneho pondelka roku 1987 zdA? byA? zanedbateA?nA?, alebo aspoA? vA?razne menA?A�. SkutoA?ne, porovnajme prepady:

Porovnanie prepadov akciovA�ho indexu S&P 500 poA?as A?ierneho pondelku roku 1987 a VeA?kej hospodA?rskej krA�zy v 30tych rokoch 20. storoA?ia

Porovnanie prepadov akciovA�ho indexu S&P 500 poA?as A?ierneho pondelku roku 1987 a VeA?kej hospodA?rskej krA�zy v 30tych rokoch 20. storoA?ia

SkutoA?ne, prepad poA?as VeA?kej hospodA?rskej krA�zy bol vyA?e 2.5 nA?sobne horA?A� ako poA?as A?ierneho pondelku a A?inil vyA?e 86% stratu, z ktorej sa index zotavoval neuveriteA?nA?ch 25 rokov.

A?o teraz? Sme stratenA�?

Nie sme 🙂 Len treba daA? dobrA? pozor keA? nA?m niekto ukazuje dlhA� grafy alebo hocijakA� grafy, na ktorA?ch vidno exponenciA?lny rast. A?asto skrA?vajA? veA?a dA?leA?itA?ch informA?cii, ktorA� na prvA? pohA?ad nevidno. MA?A?u byA? preto bez sprA?vneho A?kA?lovania klamnA�. A logaritmy sA? tu na to, aby nA?m okrem inA�ho aj v takA?chto situA?ciA?ch pomohli interpretovaA? veci sprA?vne.

 


PoznA?mky

1. Index pozostA?vajA?ci z akciA� 500 najvA�A?A?A�ch americkA?ch firiem voA?ne obchodovateA?nA?ch na burze.
2. Jednou z prA�A?in bol americkA? A?tok na irA?nsku ropnA? ploA?inu a s nA�m sA?visiaca predchA?dzajA?ca ropnA? krA�za.