Na čo sú nám dobré logaritmy na akciových trhoch

O čom asi

O logaritmoch iste už mnohí z vás počuli. Niektorí iba počuli, niektorí s nimi už niečo počítali a nejaké to mizivé percento z nás vrátane mňa ich dokonca aj používa. Rovnakú vetu by som mohol napísať aj o akciách. Teraz nemyslím tie, ktoré svietia v Bille každý utorok, ale tie, ktoré sa obchodujú na burzách po celom svete. Čo sú akcie a ako fungujú si vysvetlíme niekedy nabudúce. Pre dnešok nám bohate postačí ak vieme, že akcie si môžeme kúpiť, majú nejakú cenu a táto cena sa v čase mení. Viacerí z vás isto už počuli o tom ako akcie dokážu veľa zarobiť a možno už aj o tom ako v roku 2008 veľa prerobili. To ako sa nejakej konkrétnej akcii darilo sa vieme veľmi ľahko dozvedieť z grafu vývoja jej ceny.

Prepad akciového indexu S&P 500

Na obrázku dole je graf vývoja ceny azda najznámejšieho akciového indexu na svete, amerického S&P 500 1 od roku 1928 do roku 1996.

vývoj ceny akciového indexu S&P 500 od roku 1928 do roku 1997

vývoj ceny akciového indexu S&P 500 od roku 1928 do roku 1997

Vyobrazený je vývoj počas naozaj dlhého obdobia takmer 70 rokov. Obrázok pripomína exponenciálny rast (teda rast, ktorý je o to silnejší o čo dlhšie trvá). Skutočne, za toto obdobie index zarobil kumulatívne 4094% čo už však na ročnej báze nie je až tak astronomických 5.6% p.a. Skúste sa teraz znova pozrieť na graf hore a tipnúť si kedy podľa vás index zaznamenal svoj najväčší prepad.

Prepad indexu S&P 500 v z noci na pondelkové ráno 19.10.1987

Prepad indexu S&P 500 v z noci na pondelkové ráno 19.10.1987

Čierny pondelok… alebo aj nie?

Prirodzeným tipom mnohých, ktorý nemajú v hlave históriu finančných trhov, je silný a náhly prepad približne v 3/4 grafu znázornený vyššie. Ide o tzv. Čierny pondelok, o ktorom iste mnohí z vás počuli a svoje miesto si našiel napr. aj v nedávnom The Wolf of Wall street. Index S&P 500 sa z noci na pondelkové ráno 19.10.1987 prepadol o vyše 20%2. Celkový pokles (keďže index klesal už aj niekoľko týždňov predtým) činil -33.24%.

Pokles indexu S&P 500 od 25.8.1987 po 19.10.1987

Pokles indexu S&P 500 od 25.8.1987 po 19.10.1987

Prezradím už teraz, že tento tip na najväčší prepad nie je správny. Problémom doteraz uvedených grafov je, že najväčší prepad na nich jednoducho nevidíme. Pretože vyobrazené obdobie je príliš dlhé. No a na to aby sme vedeli správne posúdiť kde nastal najväčší prepad nám poslúžia práve logaritmy.

Logaritmy

mathtee-logarithmMojím cieľom v tomto článku nie je do hĺbky vám objasniť problematiku logaritmov. Vystačíme si len s úplným základom a uvidíme, že už aj ten nám viem pomôcť na akciových trhoch. Na slovenskej wikipédii sa hneď v prvej vete dočítame, že logaritmus alebo logaritmická funkcia je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii . Táto krkolomná veta je kľúčom k rozlúsknutiu vyššie uvedeného grafu akciového indexu S&P 500 a hľadania jeho najväčších poklesov. Keďže na danom grafe zaznamenal akciový index exponenciálny rast, použijeme na neho práve logaritmus, ktorý nám ako inverzná funkcia k exponenciálnej priblíži graf „reálnejšími“ očami.

    \[\log_a x\]

Logaritmus čísla x so základom a je číslo, na ktoré musíme umocniť a, aby sme dostali x. Teda

\log_{10} 100 = 2,      lebo 10^2 = 100
\log_2 2 = 1,      lebo 2^1 = 2
\log_5 1 = 0,      lebo 5^0 = 1

Najpoužívanejšie typy logaritmov dostali svoje mená, konkrétne logaritmus so základom 10 je dekadický logaritmus a zvyčajne sa pri ňom základ 10 ani neznačí, použije sa len \log x. Logaritmus so základom tvoriacim Eulerovo číslo e je tzv. prirodzený logaritmus a značíme ho miesto „log“ ako „ln“.

\ln (e \cdot e) = 2,     lebo e^2 = e \cdot e,     kde e \approx 2.71828

Logaritmy majú veľa užitočných vlastností, mimo iného aj tú, ktorú som už spomínal, že potrebujeme – vedia sa vysporiadať s exponenciálnym rastom. Čo to presne znamená? A prečo je exponenciálny rast problém? Ukážme si to na príklade.

Exponenciálny rast

5
Tento ilustratívny graf znázorňuje exponenciálny rast aj najväčší problém súvisiaci s jeho vyobrazovaním. S každou narastajúcou jednotkou na osi x narastie hodnota grafu na osi y o 10%. Nárast 10% z úrovne 10 nás dostane na hodnotu 11. Nárast 10% z úrovne 1000 nás zas dostane na hodnotu 1100 – proti tomuto by zrejme nikto neprotestoval. Je to však trochu problém, lebo hoci aj z úrovne 10, aj z úrovne 1000 bol nárast (alebo napr. zisk) v percentách taký istý, t.j. 10%, tak ten neskorší nárast z vyššej úrovne je na grafe oveľa viac vidno. Na grafe exponenciálneho rastu vyzerá 10%-ný nárast z úrovne 1000 ako výrazne vyšší ako 10%-ný nárast z úrovne 10, pritom percentuálne sú totožné.

6
Pri dlhodobých (väčšinou viac ako 3-5 rokov) grafoch akciových alebo iných finančných trhov je táto vlastnosť problém. Skrýva totiž to, čo sa vlastne dialo v úvodných, skorších obdobiach. Keďže index zaznamenal exponenciálny rast, z grafu vôbec nevidíme, koľko percent zarobil alebo stratil v prvej polovici vyobrazeného obdobia. Takýto graf je teda dosť klamný, keďže na ňom dobre vidíme iba nedávne, čerstvé obdobia (nárast 20%).

Logaritmy vs exponenciálny rast

Pozrime sa na dekadický logaritmus z lineárne rastúcich čísel.

\log_{10} 100 = 2
\log_{10} 200 = 2.3
\log_{10} 300 = 2.48
\log_{10} 400 = 2.6
\log_{10} 500 = 2.7

Vidno, že hoci zvyšujeme logaritmované číslo stále o 100, výsledok narastá najskôr o 0.3, potom o 0.18, potom o 0.12 a na koniec iba o 0.1. Nárast o rovnakú jednotku (napr. 100) z vyššej hodnoty na osi x (napr. 400) sa pretaví v menší nárast hodnoty na osi y (0.1), v porovnaní s nárastom o 100 z nižšej úrovne na osi x (napr. zo 100 je to 0.3).

7
To isté platí samozrejme pre akýkoľvek logaritmus, aj prirodzený. Rovnaký absolútny nárast (o 100) na osi x spôsobí stále menší nárast na osi y. Vidíme teda, že nárasty na začiatku (skôr) vidno oveľa lepšie ako nárasty na konci (neskôr). To je presne opačná vlastnosť ako v prípade exponenciálneho rastu. A priamo súvisí s tým, že logaritmus je inverzná funkcia exponenciálnej.

 Percento na začiatku vidno rovnako ako percento na konci

Čo je ale pre tento článok najdôležitejšie, logaritmy umožňujú vyobraziť percentuálny rast na začiatku obdobia (t.j. pre malé absolútne hodnoty) úplne rovnako ako percentuálny rast na konci obdobia (pre vysoké absolútne hodnoty). Videli sme, že v prípade exponenciálneho rastu a jeho grafického vyobrazenia vidno oveľa viac 10%-ný nárast (ale aj pokles) na konci ako 10%-ný nárast (ale aj pokles) na začiatku. V prípade logaritmov vidno tieto nárasty úplne rovnako.

Na konkrétnom číselnom príklade:

50% nárast z 10 = 15, t.j. zvýšenie o 5
50% nárast z 2000 = 3000, t.j. zvýšenie o 1000

\ln 10 = 2.303,   a  \ln 15 = 2.708,   t.j. zvýšenie o 0.405
\ln 2000 = 7.601,   a  \ln 3000 = 8.006,   t.j. zvýšenie o 0.405

Matematické vysvetlenie

Nech p je náš percentuálny nárast vyjadrený ako násobok pôvodného čísla (v hornom príklade 50% nárast, t.j.   p=1.5), nech x je číslo, z ktorého tento percentuálny nárast počítame (v hornom príklade 10) a nech n je násobok tohto čísla, ktorým keď pôvodné číslo vynásobíme, dostaneme nové číslo, z ktorého chceme znova spočítať ten istý percentuálny nárast (v hornom príklade chceme počítať percentuálny nárast z 2000, a 10 * 200 je 2000, takže n = 200).

Problém v prípade klasického neupraveného grafu je, že pre n \gg 1

(1)   \begin{equation*}(p \cdot x - x)\text{  } \ll \text{  }(p \cdot n \cdot x - n \cdot x)\end{equation*}

T.j. ľudskou rečou, rovnaké percento nárastu pri vyšších hodnotách vidno oveľa viac ako rovnaké percento nárastu pri nižších hodnotách.  Ak ale aplikujeme na jednotlivé hodnoty logaritmus, napr. prirodzený, tak tento problém opadá:

(2)   \begin{equation*}\ln (p \cdot x) - \ln x \text{  }=\text{  } \ln (p \cdot n \cdot x) - \ln (n \cdot x)\end{equation*}

Prečo platí uvedená rovnosť? Využili sme pri nej nasledovnú vlastnosť logaritmov:

    \[\ln\frac{A}{B} = \ln A - \ln B\text{,    pre  }A, B > 0\]

Pre ľavú stranu vyššie uvedenej rovnice (2) teda platí

    \[\ln (p \cdot x) - \ln x = \ln(\frac{p \cdot x}{x}) = \ln p\]

A pre pravú stranu (2) platí

    \[\ln (p \cdot n \cdot x) - \ln (n \cdot x) = \ln(\frac{p \cdot n \cdot x}{n \cdot x}) = \ln p\]

Teda opäť ľudskou rečou, na grafe rovnaké percento nárastu pri vyšších hodnotách vidno tak isto ako rovnaké percento nárastu pri nižších hodnotách.

Riešenie problému nájdenia najväčšieho akciového poklesu

Späť teraz konečne k nášmu pôvodnému problému hľadania najväčšieho poklesu akciového indexu S&P 500 v období od roku 1928 do roku 1996. Môj (náš) úvodný tip je pripomenutý na grafe dole.

Pokles indexu S&P 500 od 25.8.1987 po 19.10.1987

Pokles indexu S&P 500 od 25.8.1987 po 19.10.1987

Graf je však veľmi dlhý a vyobrazuje exponenciálny rast. Je teda veľmi pravdepodobné, že nárasty (ale aj poklesy) na konci grafu vidíme oveľa výraznejšie ako nárasty (poklesy) na začiatku grafu. Aplikujme teraz na jednotlivé hodnoty grafu na y osi logaritmus. Výsledný graf je uvedený nižšie.

8

vývoj ceny akciového indexu S&P 500 od roku 1928 do roku 1997 s použitím logaritmickej škály

Tento nový (a správny) pohľad na graf odkryl veľa informácií, ktoré na klasickom grafe vidno neboli. A to najmä v jeho prvej polovici. Obrovský, vyše 10 rokov trvajúci prepad z rokov 1929-1942 nie je nič iné ako Veľká hospodárska kríza. Popri nej sa prepad trhov z Čierneho pondelka roku 1987 zdá byť zanedbateľný, alebo aspoň výrazne menší. Skutočne, porovnajme prepady:

Porovnanie prepadov akciového indexu S&P 500 počas Čierneho pondelku roku 1987 a Veľkej hospodárskej krízy v 30tych rokoch 20. storočia

Porovnanie prepadov akciového indexu S&P 500 počas Čierneho pondelku roku 1987 a Veľkej hospodárskej krízy v 30tych rokoch 20. storočia

Skutočne, prepad počas Veľkej hospodárskej krízy bol vyše 2.5 násobne horší ako počas Čierneho pondelku a činil vyše 86% stratu, z ktorej sa index zotavoval neuveriteľných 25 rokov.

Čo teraz? Sme stratení?

Nie sme 🙂 Len treba dať dobrý pozor keď nám niekto ukazuje dlhé grafy alebo hocijaké grafy, na ktorých vidno exponenciálny rast. Často skrývajú veľa dôležitých informácii, ktoré na prvý pohľad nevidno. Môžu byť preto bez správneho škálovania klamné. A logaritmy sú tu na to, aby nám okrem iného aj v takýchto situáciách pomohli interpretovať veci správne.

 


Poznámky

1. Index pozostávajúci z akcií 500 najväčších amerických firiem voľne obchodovateľných na burze.
2. Jednou z príčin bol americký útok na iránsku ropnú plošinu a s ním súvisiaca predchádzajúca ropná kríza.

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *