Tri dôkazy pytagorovej vety

Keď raz Pál Erdős, legendami opradený maďarský matematik, stretol mladého talentovaného študenta, ktorého mal doučovať, začal sa pred ním vyťahovať. „Daj mi štvorciferné číslo,“ povedal Erdős, a študent si jedno vymyslel. „Štvorec je 6,411,024,“ z hlavy vypočítal Erdős. „Koľko dôkazov Pytagorovej vety poznáš?“ Jeden, povedal študent. „Ja 37,“ povedal Erdős.

37 dôkazov Pytagorovej vety pre život asi nepotrebujeme, ale tri sa rozhodne zídu. Alebo aspoň jeden, keďže aj jeden je viac ako nula. A keby sme ich poznali nula, tak by sme ani nemali ako vedieť, že Pytagorova veta vlastne platí. Tak poďme na to.

Dôkaz prvý — grafický

Predstavme si štvorec o strane c. Do neho nakreslime pravouhlé trojuholníky s preponami, ktoré sú zároveň stranami štvorca, a zvyšnými odvesnami a,b. Ako na obrázku.

pytagoras1

Keďže trojuholníky sú pravouhlé, perfektne vypĺňajú priestor veľkého štvorca tak, že akurát v strede zostane malý štvorček o strane b-a. Potom platí, že obsah veľkého štvorca c^2 sa rovná obsahu štyroch trojuholníkov ab/2 a obsahu malého štvorca.

    \[c^2 = 4\frac{ab} 2 + (b-a)^2,\]

    \[c^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2\]

    \[c^2 = a^2 + b^2.\]

Voilà, Pytagorova veta!

Dôkaz druhý — z kosínusovej vety

Kosínusová veta hovorí c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma. Ak je uhol \gamma pravý, tak \cos\gamma = 0, a teda máme Pytagorovu vetu. Poďme si teda dokázať rovno aj vetu kosínusovú.

pytagoras2

Predstavme si trojuholník o stranách a,b,c a uhloch \alpha, \beta, \gamma. Vidíme, že stranu c možno rozdeliť na časti c_1 a c_2, kde c_1 = b\cos\alpha a c_2 = a\cos\beta. Takže

    \[c = b\cos\alpha + c\cos\beta.\]

Okrem toho si všimnime, že výška na stranu c, označme ju d, sa rovná b\sin\alpha a zároveň a\sin\beta. Teda máme vzťah

    \[b\sin\alpha = a\sin\beta.\]

Máme dve rovnice a chceli by sme sa zbaviť jedného z dvoch uhlov, ktoré v nich vystupujú. Napríklad teda uhla \alpha.
Tento vzťah možno umocniť na druhú a použiť identitu \sin^2\alpha + \cos^2 \alpha = 1:

    \[b^2 - b^2\cos^2\alpha = a^2\sin^2\beta.\]

Prvu rovnicu možno upraviť a umocniť na tvar (c - a\cos\beta)^2 = b^2\cos^2\alpha. Porovnaním strán dostaneme

    \[c^2 - 2ac\cos\beta + a^2\cos^2\beta = b^2 - a^2\sin^2\beta,\]

    \[c^2 + a^2 - 2ac\cos\beta = b^2.\]

Oproti prvej forme kosínusovej vety sa nám pomenili písmená. Ale na tom nezáleží. Podstatné je, že strana b, ktorú nepoznáme, a uhol \beta, sú oproti sebe, a strany a a c sú priľahlé uhlu \beta. Dôkaz je hotový.

Dôkaz tretí

Napokon ešte jeden grafický.

pytagoras3

Plochu útvaru na obrázku môžeme vyjadriť dvomi spôsobmi. Po prvé, ako súčet plôch troch trojuholníkov:

    \[A = c^2/2 + 2 \, ab/2.\]

Po druhé, ako súčet plôch obdĺžnika o stranách a a a+b, a pravouhlého trojuholníka o stranách b-a a a+b:

    \[A = a(a+b) + (a+b)(b-a)/2 = a^2 + ab + b^2/2 - a^2/2.\]

Z rovnosti plôch dostaneme, podľa očakávania, Pytagorovu vetu.

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *